Függvények – hogyan tovább?
A mögöttünk álló hatórás, függvények tanításával foglalkozó blokkban arra tettünk kísérletet, hogy a függvényfogalom megalapozása minél mélyebb, sokszínűbb, életközelibb legyen. Bízunk benne, hogy az a sok munka, amit az alapozásba fektettünk a továbbiakban megtérül, mind a motivációban, mind a későbbi ismeretek könnyebb elsajátításában.
Az alapfogalmak részletes körüljárása, valamint a sok játékos feladat természetesen nem helyettesíti azt, hogy bizonyos mechanikusabb eljárásokat a diákok sok gyakorlással készségszinten sajátítsanak el – ez utóbbiakra a folytatásban biztosan hangsúlyt kell fektetni. Ennek első lépése a behelyettesítés gyakorlása, mely a bevezető hat óra után még gyerekcipőben jár. Erre biztosan rá kell szánni legalább egy teljes tanórát, mely többek közt azért nem került kidolgozásra, mert a gyakorlás mélységében és tempójában nagyon sokat számít a csoport felkészültsége, előismerete: a tanárnak kell látnia, hogy mennyi és milyen példa szolgálja az ismeretek kellő mértékű elsajátítását. Véleményünk szerint a gyakorlás folyamán nem szükséges, hogy elhangozzanak új elnevezések, mint például „abszolútértékfüggvény” vagy „négyzetgyökfüggvény”. Ennek a gyakorlásnak a fő üzenete az elnevezések helyett az legyen, hogy behelyettesítéssel – kellő türelemmel – bármit tudunk ábrázolni. Illetve az is hasznos és pótolhatatlan tapasztalat a diákok számára, hogy milyen sokféle lehet egy függvény grafikonja.
A függvények jellemzési szempontjait ugyanúgy lehet a behelyettesítéshez kapcsolódva tárgyalni, mint később a transzformációkhoz kapcsolva. Bárhogyan is dönt a tanár, mindenképpen hasznos, ha az absztrakt fogalmak előtt előkerülnek olyan grafikonok, melyeket az első hat órában néztünk. Például egy értékpapír-diagram jellemzésekor pont azokat a dolgokat mondjuk el, mint az absztrakt függvényeket elemezve (mettől meddig nőtt, mennyi volt a maximum értéke és mikor vette fel, milyen tartományban mozgott az adott értékpapír értéke stb.). Ezeknek a párhuzamoknak a feltárása segít abban, hogy a diákok például mindig az x tengelyről olvassák le a növekedés-fogyás intervallumait, értsék, hogy a minimumhely nem a diagram „bal széle”, hanem a minimum értékhez tartozó hely stb.
A behelyettesítéses ábrázolás (valamint a jellemzési szempontok megtanulása) után elkezdhetünk foglalkozni a lineáris függvények világával. Ennek előkészítése is megtörtént már, a taxis példában mind a tengelymetszettel, mind a meredekséggel foglalkoztunk anélkül, hogy néven neveztük volna őket. Kiemelten javasoljuk, hogy a lineáris függvényekkel foglalkozó néhány órán többször történjen visszautalás ezekre a korábbi, való életből vett példákra. Fontosnak tartjuk azt is, hogy a lineáris függvények témájában sikerüljön odáig eljutniuk a diákoknak, hogy képletből is tudjanak ábrát készíteni, valamint az ábra alapján a képletet is elő tudják állítani.
A lineáris függvények tanítását több desmos-os tananyag is segítheti, ezek linkjei:
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5ba3ef934f8fa7314b8836a6
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5e480c7daa4266109aeaad44
Akinek a koordinátarendszerben való tájékozódásban ennél nagyobb segítségre szorul, annak ez a desmos is segíthet:
A lineáris függvények tárgyalásával a témakör első nagy egysége lezárul.
A második nagyobb blokkot a függvénytranszformációk világa jelenti. Akár közvetlenül a lineáris függvények után is sor kerülhet erre, vagy csak tizedik osztályban később.
Amennyiben a tanár úgy dönt, hogy folytatja a témakört, hasznos, ha már az ábrázolást gyakoroltató példákban elkezdi a transzformációs szemléletet előkészíteni, például az $f(x)=x^{2}$, $g(x)=x^{2}-3$, $h(x)=(x-3)^{2}$ függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoltatva. Azt is előremutatónak tartjuk, ha a tanulás nem alapfüggvényenként halad, mindegyiknél megtanítva ugyanazt a szabályt, hanem inkább arra helyezi a hangsúlyt, hogy egy képletben milyen módosítás hatására mi történik a grafikonnal.
A transzformációkat segítő, elsősorban másodfokú függvényekhez kapcsolódó desmosos anyagok:
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/60afefb7d76a1808800c8f4c
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/60afe969acb1874bbe6741fd
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/60afe969acb1874bbe6741fd
További anyagok magasabb évfolyamokra a trigonometrikus függvényekről:
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/6183c219867d1109dd91b3a2
- https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5e4c2fb74abfeb701c7b4c0d